主要指数

Kathy Reyes摄

标志性的数学教授乔·罗伯茨在执教((2^2)^3)-2年后退休。

比尔·多纳休著

警告：这个故事可能会让一些读者感到痛苦。它可能会刺激难以忘怀的记忆，或引起出汗、失眠、消化不良、咬牙切齿和普遍的失常感。身体的反应会有所不同。更可预见的是：很少有读者能完全掌握这个故事的主题。这篇文章是关于实数的构造。它讲述了威博体育的理论数学教学，也讲述了威博体育的数学入门课程是如何在威博体育APP最神秘莫测的学者的睿智和仁慈的指导下发展起来的。让我们开始吧。让我们回到过去。

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Joe Roberts

1952年9月。一位身材精瘦、肌肉发达的新数学教授大步走进威博体育的校园，他穿着白衬衫，打着细领带。他28岁，身高6英尺3英寸，是一名高中田径明星，有着威廉·哈特内尔（William Hartnell，第一部《神秘博士》的扮演者）那种令人敬畏的眉毛，他的身材令人生畏。他的知识背景同样令人印象深刻。他拥有凯斯韦斯特大学（Case Western）和科罗拉多大学（University of Colorado）的化学和数学学位，并在芝加哥大学（University of Chicago）与颇具影响力的生物物理学家尼古拉斯·拉舍夫斯基（Nicholas Rashevsky）一起研究了几年数学生物学。他是谢里丹怀俄明大学数学和化学系的一个人。第二次世界大战期间，他在洛斯阿拉莫斯国家实验室的钚工厂担任化学家。当奥本海默第一次在沙漠上看到蘑菇云爆炸时，他就在新墨西哥州。

但关于乔最重要的是，在他的整个童年，他的母亲都是《俄亥俄驾车者》杂志的编辑。他有足够的时间在克利夫兰东部的荒地上游荡，没有人监督。“我以前喜欢在空旷的田野里沿着铁轨玩耍，”他回忆道。“我喜欢爬过高高的草丛，躲起来。”高中时，乔和一个朋友经常在一家电力公司外面的垃圾堆里翻找变压器和荧光灯管。他说：“我记得我的朋友用一根管子，里面没有任何荧光物质。”他失明了三天。非常可怕。我记得我得到了一瓶水银，我们也经常玩它。”一天晚上，乔的妈妈回到家，发现他把厨房炉子上的橡胶软管连到了卧室里，这样他就可以在卧室里使用本生灯了。“这并没有持续多久，”他回忆道。

但随着时间的推移，游戏的概念成为了他数学图式的核心。乔是数论方面的专家，有时也被称为“高等算术”，这是数学的一个分支，研究整数的性质。在他1992年出版的《整数的诱惑》一书中，乔避开了“严肃的数学”，而是拥护“休闲的”数学，他指出：“数学家研究问题不会沿着一条直线前进. . . .甚至日常的研究工作也常常是由偶然决定的：由已经完成的而不是尝试的，由上周讨论会的内容，由同事或学生的偶然评论。”

乔在序言中说，他的书是为“任何对数字感兴趣的人”写的。在威博体育，他渴望培养出这样好问的性格。但在1952年，该威博体育APP固守着一种呆板而实用的数学方法。32年来，威博体育一直使用F.L. Griffin教授（数学1911-56）在1921年写的《数学分析入门》作为第一年的教科书。这本书里充满了对物理和化学学生有用的方程式。

“我觉得我们需要做一些更理论化的事情，”乔说，“我们需要在早期引入更多的严谨性，因为我们直到大三才要求学生仔细研究数字系统是如何工作的，那时他们正在学习高等代数。”

1956年，乔开始为一门课程写笔记，这门课程将向新生介绍永恒的数学真理。他会通过构造实数来引导他们进入数论——几乎是无中生有。数学11会问一些深层次的问题，比如为什么1+1=2，以及一个公理是如何起作用的。这门课是高度抽象的。在第一学期，很少使用实际数字（1、2、3等等）；像x、y和∆这样的符号占了上风。“你试着构建一套完整的实数，”乔回忆起笔记说。“你从正数，整数开始，然后是负数，然后是分数。这些都是有理数的例子。然后再看无理数。这个名字本身就告诉了你第一批数学家是怎么看待这些数字的。他们是非理性的?”

乔认为数学11是“一门文化课程”，向学生介绍数学的语言和概念。他坚持认为这门课不需要预知，但对许多学生来说，数学11（1961年成为数学111）几乎是不可能的。1989年的Sandeep Kaushik用一个恐怖的复合形容词来形容参加Joe考试的学生：“彻底失败，没有一个问题能正确解决。”他记得有两次考试成绩低于15%，尽管他得了B+。

几乎可以肯定的是，没有任何一所美国大学的数学教学如此抽象。当备受尊敬的数论学者、耶鲁大学教授Serge Lang听说了这门课后，他非常震惊，威博体育威博体育的校长写了一封投诉信。

还有一些人喜欢数学11正是因为它很抽象。“乔做的每件事都有一个美学原则，”Lewis & Clark的物理学教授赫歇尔·斯诺德格拉斯（Herschel Snodgrass）说。“他的教学是诗歌。”即使是迷茫的人也有美好的回忆。“我认为乔·罗伯茨是一个非常酷，几乎是神秘的人物，”桑迪普说。“他有一种轻声细语的禅宗般的平静。他是一位数学圣人，生活在一个神圣的数字世界里。”

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好了，拿好帽子。我们将跨越62年。我们进入快进镜头，在视频的嗡嗡声中，我们看到乔·罗伯茨带领学生徒步攀登胡德山。我们看到，大约在1965年，威博体育的教职员工联合起来，帮助一位同事搬出他的房子。我们看到乔走进厨房，弯下腰，蹲着，把冰箱扛在背上，走到街上. . . .

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2014年3月。乔·罗伯茨正坐在他的办公室里，他即将退休。他现年90岁，在威博体育执教62年，比威博体育APP历史上任何一位教授都要长。经过时间的捉弄，自1976年以来，他的外表一点也没变过。在一个以白胡子著称的数学系，乔是一个完美的智者。他留着长长的白胡子，穿着几十年来一直穿的牛仔裤、法兰绒衬衫和磨破的工作靴。到目前为止，他已经出版了三本书，并为大约100名学生提供了论文指导。他的专长是教书，而且他在这方面做得很深入。他1977年出版的375页教科书《初等数论》（Elementary Number Theory），优雅地综合了前沿研究，提出了一系列棘手的代数问题。这是Gregory Maskarinec 1974年的手写体。

然而，当他面对以前的学生不切实际的赞美时，他只是耸耸肩。他对一位来访的记者说：“威博体育的毕业生总是倾向于威博体育事物增添色彩。”“他们只是让一切听起来都很美妙。”

“但你在这里做了一些了不起的事情。比如把那些冰箱搬起来怎么样？”

“空的。那些都是空冰箱。”

乔从来不是一个自吹自擂的人。这并不是说他很温顺。“他从不拐弯抹角，”休·克里斯滕森教授（1957 - 1990年数学）回忆起50年代威博体育的情况时说。“每个人都知道他喜欢里德峡谷，每当管理员要在那里砍树时，他们都会说，‘等等。我们最好先征求乔·罗伯茨的意见。’”

多年来，乔经常就良心问题直言不讳。20世纪50年代中期，时任校长的F.L.格里芬开除了一名女学生，原因是她和一个不是她丈夫的男人住在校外，乔写了一封抗议信——然后当格里芬生气时，他坚持了自己的立场。他毫不动摇地反对越南战争和两次海湾战争，他也不认同学术界对资历的执着。在讨论里德在研究生院的位置时，他说，“哦，你是说罗德奖学金和所有那些胡扯吗？”他有坚定的信念，但他的态度是扭曲和脚踏实地的。很少有人比乔·罗伯茨（Joe Roberts）更随意了，现在又有两位杰出的教授走进了他的办公室。

雷·梅尔教授[数学1974-2002]坐在黑板旁边。汤姆·维廷教授（数学1965 -）坐上了躺椅，突然之间就像三个老家伙在甜甜圈店闲逛，只不过他们的对话很少见。“你还记得《数学月刊》1947年11月刊上的那篇文章吗？”Wieting问道。

每个人都知道，但谈话很快就转向了一位离开已久的同事，威廉·劳弗莱教授（1963-64年的数学），他在里德的一年里，提高了乔·罗伯茨的数学111的赌注，提出了一套更深奥的新笔记。Lawvere现在是纽约州立大学布法罗分校的名誉教授，是范畴论方面的专家，他的系统将数学简化为物体和箭头的集合，就像这样：

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当梅耶尔还是一名年轻的教授时，他在考虑洛维勒的笔记时，常常会感到迷茫。“他的方式非常正式，”他说。“这非常、非常困难，而且没有太多意义。”

“嗯，其实我还挺喜欢的，”乔说。“这对每个人来说都是新的。所有的学生都在同一条船上。”

“你认为你让他们看到了美吗？”记者问。“数学有美吗？”

乔说：“雷会更好地回答这个问题。“雷?”

雷·梅尔（Ray Mayer）身材瘦小，留着长长的白胡子，穿着一件红色的鹿皮衬衫，戴着一顶破旧的棒球帽。他说：“我第一次读欧几里得的书时，眼泪就流了出来。它是如此完美，如此美丽。”直到现在，当他说话的时候，他的眼睛还在闪闪发光，房间里充满了一种可爱的宁静，因为三位数学家都心照不怀地承认，他一生都在做自己喜欢的事情。

“我读欧几里得的时候也有同样的感觉，”乔说，“但我没有哭。”

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Music of the spheres. Prof. Joe Roberts showed generations of Reed students how to play with numbers.

球体的音乐。乔·罗伯茨教授向几代威博体育的学生展示了如何玩数字游戏。Kathy Reyes摄

按倒带键。继续。就像处理负数一样。现在我们看到1971年的乔·罗伯茨骑着他的自行车穿越加拿大，只不过在我们的屏幕上，自行车实际上是向后移动的，后轮优先，当乔踩着踏板进入落基山脉稀薄的空气时，曲柄在反向旋转。我们看到乔和他的学生玩欧几里得游戏，教他们任何两个数的差都能被它们的最大公分母整除。我们自然而然地从反面看待这个教训。学生们越来越笨了。粉笔从黑板上消失. . . .

  

1964年9月。67届板球新生帕玛利选修数学111，由乔·罗伯茨设计。她很困惑。下课后，巴斯·亨特教授（数学1953 - 1977）把她叫到他的办公室。“我知道你遇到了一些困难，”他说，“但我知道你有这个能力。”亨特威博体育了她一个未完成的任务，告诉她要自己完成这项工作。“我的心一沉，”蟋蟀回忆道。在接下来的三年里，无论她在学校哪里，她都尽量避开他。“如果我走上教堂的台阶，看到亨特医生走了下来，”她回忆说，“我可以沿着大厅走下去，然后爬上另一个楼梯。我很擅长这个。”

但她需要数学学分才能毕业，最终在1966年，乔和他的数学同事们拯救了她，他们允许非专业学生毕业，只要他们上了一门名为“诗人数学”的课程，后来被称为“岩石数学”。她收下了；她通过。毕业典礼那天，亨特咧着嘴朝她走来。“恭喜你，”他说。“现在也许我们可以不再回避对方了。”

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快进，现在播放的磁带是乔·罗伯茨在1985年威博体育的一次聚会上，他和他以前的学生，75届的玛格丽特·科恩相遇。他说：“我们应该找个时间一起吃顿饭。”“什么时候?她说。“明天怎么样？”乔说。他们还是夫妻。

这是乔在里德体育馆，教里德的第一堂杂耍课。他把1、2、3、4、5个球抛向天花板，然后同时把它们全部抛向空中，他面前的空气变得明亮、旋转、模糊. . . .

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2014年3月。这位记者说：“你知道我能应付一点杂耍。”“我可以做三个球。”

“一根粉笔、一块橡皮和一支铅笔怎么样？”乔说。“你会玩杂耍吗？”

乔正准备教一门课，数学112，很快，学生们进来了，穿了洞，纹了纹身，大多数人都不到乔年龄的两倍。其中一个进来了，他的头骨上夹着一副闪亮的红色耳机。他的舞蹈和假唱让人想起了贾斯汀·汀布莱克（Justin Timberlake）。乔不慌不忙地开始在黑板上写字，很快唯一的声音就是粉笔的噼啪声。

今天的课程涉及柯西数列，其中各种元素变得越来越接近彼此。(柯西序列是一个例子 ½, -½, ¼, -¼, ⅛,⅛)。在董事会上，乔变得，嗯，不是天真烂漫，而是被这个概念的简洁魔力迷住了。“现在，x之外的所有x的值是多少？”他问道。“他们不会更接近x吗？”

威博体育在80年代初停止教新生如何构造整数，但它保留了乔教授数学的严谨、抽象的方法。“与其他教授相比，乔的方法特别理论化，”阿尔宾·琼斯（1986 -）教授说。

“乔温柔的教学风格，对数学的热爱，对激烈辩论的喜爱，以及他独特的（甚至对里德来说！）打破传统的世界观，极大地鼓舞了几代里德学生，”72届（数学1980-2005）的乔·布勒教授说。“也许还有，至少在我还是学生的时候，他自制的啤酒。”

乔感兴趣的概念可能是非常抽象的，但他的课堂风格是彻头彻尾的民间。在课堂上，乔讨论数学的伟大思想，就好像它们是许多金属碎片在电厂外伪造一样。他谈到分数的“上”和“下”，有一次他问，“现在如果我们有n只鸽子和n - 1个洞，一个洞里会有两只鸽子，对吧？”房间里爆发出一阵笑声。

之后，乔回到了他的办公室。“你知道，”他说，“我真的不想让你写这篇文章。我不想为我的退休大惊小怪。”

“嗯，”记者说，“也许你会被炒鱿鱼。我敢肯定，那样的话，这个故事就完蛋了。”

乔的眼睛里闪烁着光芒。“被解雇可能对我的经济有利，”他说。“我得好好算算。“真的，”他继续说，“我不想要任何宣传。我可不想参加他们威博体育退休人员的那种午餐。那些午餐太做作了。我想到他们要威博体育我的午餐，我几乎想再工作一年，只是为了避免它。真的，我只想关掉灯，让所有人都忘记我。”

抱歉,乔。这是不可能发生的。

这篇文章的印刷版的标题错误地报道了乔在威博体育的教学时间，因为编辑（就是我）犯了一个基本的数学错误。标题暗示乔在威博体育教书

（2的（2的3次方）次方）-2 = 254年。

事实上，乔教了

（2的2次方）（3次方）-2 = 62年。

我们对这个指数误差表示诚挚的歉意。